А может ли кто-нибудь объяснить принцип работы валидатора? Зачем кнопки с цифрами от "0" до "3"?

Кнопки нужны для оплаты билета аналогом нашего "подорожника".
0 - билет на трамвай.
1,2,3 - билеты на одну, две, три зоны соответственно.
Перед прикладыванием карты нужно нажать нужную кнопку и далее приложить карту.

Т.е. карта одна, и в зависимости от того какой билет мне нужен, я нажимаю цифру. И с карты списываются разные суммы.

Да, именно так.
На карту после прикосновения к валидатору записывается определенный вид билета, действующий некоторый промежуток времени (60-90 минут).

Отмечу, что при достижении за календарный месяц стоимости поездок, равной стоимости самого дорогого месячного проездного (трехзонного), деньги списываться перестают.